Стрелка Пирса (Логическое ИЛИ-НЕ / NOR): таблица истинности и свойства
В математической логике и цифровой электронике стрелка Пирса (также известная как отрицание дизъюнкции, ИЛИ-НЕ или NOR от англ. Not OR) — это бинарная логическая операция, которая выдает истину (1) тогда и только тогда, когда оба её операнда ложны (0). Во всех остальных случаях результатом будет ложь (0).
Операция названа в честь выдающегося американского логика и математика Чарльза Сандерса Пирса (Charles Sanders Peirce), который ввел её в использование в 1880–1881 годах.
Стрелка Пирса представляет собой последовательное выполнение двух базовых операций: сначала мы применяем к высказываниям логическое сложение (ИЛИ), а затем к полученному результату применяем отрицание (НЕ).
В естественном языке эта операция лучше всего описывается словесной конструкцией: «ни то, ни другое» или «неверно, что выполняется хотя бы одно из условий».
Обозначения стрелки Пирса
Для записи этой операции между двумя высказываниями $A$ и $B$ чаще всего используются следующие символы:
- $A \downarrow B$ (стрелка вниз — классическое математическое обозначение);
- $\neg(A \lor B)$ (запись через инверсию дизъюнкции);
- $\overline{A + B}$ (запись, часто используемая в схемотехнике);
A NOR B(текстовое обозначение в программировании и электронике).
Пример из реальной жизни
Представьте, что вы сидите дома на выходных и решили: «Я пойду гулять, только если на улице не будет ни дождя ($A$), ни сильного ветра ($B$)».
Давайте проверим, при каких условиях вы пойдете на прогулку (Прогулка состоится = Истина):
- Идет дождь ($A=1$) и дует сильный ветер ($B=1$). Погода ужасная, вы остаетесь дома (Итог = 0).
- Дождя нет ($A=0$), но дует сильный ветер ($B=1$). Одно из негативных условий выполнилось, вы остаетесь дома (Итог = 0).
- Идет дождь ($A=1$), но ветра нет ($B=0$). Опять же, вы остаетесь дома (Итог = 0).
- Дождя нет ($A=0$) и ветра нет ($B=0$). Погода отличная! Это единственный случай, когда вы пойдете гулять (Итог = 1).
Таким образом, операция ИЛИ-НЕ выдает истину только в случае полного отсутствия каких-либо «положительных» (равных 1) входных сигналов.
Таблица истинности для стрелки Пирса
Таблица наглядно демонстрирует, что результат $A \downarrow B$ является точной противоположностью (инверсией) результата обычного логического ИЛИ ($A \lor B$).
Для двух переменных ($A \downarrow B$)
| $A$ | $B$ | $A \lor B$ (ИЛИ) | $A \downarrow B$ (ИЛИ-НЕ) |
|---|---|---|---|
| 0 | 0 | 0 | 1 |
| 0 | 1 | 1 | 0 |
| 1 | 0 | 1 | 0 |
| 1 | 1 | 1 | 0 |
Для трех переменных ($A \downarrow B \downarrow C$)
Точно так же, как и штрих Шеффера, стрелка Пирса не ассоциативна. Это означает, что порядок расстановки скобок критически важен. В математике при отсутствии скобок цепочка стрелок Пирса вычисляется строго последовательно — слева направо: сначала вычисляется $(A \downarrow B)$, а затем к результату и переменной $C$ применяется новая операция $\downarrow$.
| $A$ | $B$ | $C$ | $A \downarrow B$ | $(A \downarrow B) \downarrow C$ |
|---|---|---|---|---|
| 0 | 0 | 0 | 1 | 0 |
| 0 | 0 | 1 | 1 | 0 |
| 0 | 1 | 0 | 0 | 1 |
| 0 | 1 | 1 | 0 | 0 |
| 1 | 0 | 0 | 0 | 1 |
| 1 | 0 | 1 | 0 | 0 |
| 1 | 1 | 0 | 0 | 1 |
| 1 | 1 | 1 | 0 | 0 |
(Воспользуйтесь нашим интерактивным калькулятором, чтобы автоматически построить и скопировать таблицу истинности для любого количества переменных!)
Базис Пирса и универсальность операции
Как и штрих Шеффера (NAND), стрелка Пирса (NOR) обладает уникальным свойством — она образует функционально-полный базис (базис Пирса).
Это означает, что имея в распоряжении только операцию ИЛИ-НЕ, можно выразить абсолютно любую другую логическую операцию (отрицание, конъюнкцию, дизъюнкцию, импликацию и т.д.). В цифровой электронике это позволяет строить сложнейшие микропроцессоры, используя миллионы однотипных транзисторных вентилей NOR, что значительно удешевляет производство чипов.
Например, бортовой управляющий компьютер (AGC), использовавшийся в космической программе «Аполлон» для полета на Луну, был полностью построен исключительно на вентилях NOR (ИЛИ-НЕ)!
Выражение других операций через стрелку Пирса:
- Инверсия (Логическое НЕ): Отрицание числа равно стрелке Пирса числа с самим собой.
$$\neg A = A \downarrow A$$
- Дизъюнкция (Логическое ИЛИ): Это инверсия стрелки Пирса (дважды применяем операцию).
$$A \lor B = (A \downarrow B) \downarrow (A \downarrow B)$$
- Конъюнкция (Логическое И): Это стрелка Пирса от инвертированных операндов (согласно законам де Моргана).
$$A \land B = (A \downarrow A) \downarrow (B \downarrow B)$$
- Импликация (Следование):
$$A \rightarrow B = ((A \downarrow A) \downarrow B) \downarrow ((A \downarrow A) \downarrow B)$$
Алгебраические свойства:
- Коммутативность (Переместительность): Да. От перемены мест переменных результат не меняется.
$$A \downarrow B = B \downarrow A$$
- Ассоциативность (Сочетательность): Нет. Порядок выполнения операций имеет значение!
$$(A \downarrow B) \downarrow C \neq A \downarrow (B \downarrow C)$$
- Взаимодействие с константами:
$$A \downarrow 0 = \neg A$$(стрелка с нулем работает как инверсия)
$$A \downarrow 1 = 0$$(любая стрелка Пирса с единицей дает ложь)
- Идемпотентность: Нет. Переменная со стрелкой на саму себя дает инверсию.
$$A \downarrow A = \neg A$$
Попробуйте нажимать кнопки в нашем интерактивном тренажере выше, чтобы закрепить понимание того, как работает логическое ИЛИ-НЕ!