Геометрическая прогрессия: от n-го члена до суммы бесконечно убывающей — калькуляторы для школы и практики

Геометрическая прогрессия — это последовательность, в которой каждый следующий член получается умножением предыдущего на одно и то же число (знаменатель q). Она встречается в биологии (рост популяции), физике (радиоактивный распад), финансах (сложные проценты, инфляция) и многих других областях. В этом разделе собраны калькуляторы, которые помогут вам быстро находить любой параметр геометрической прогрессии: первый член (b₁), знаменатель (q), n-й член (bₙ), сумму первых n членов (Sₙ), а также сумму бесконечно убывающей прогрессии (|q| < 1). Формулы и пошаговый вывод особенно полезны для подготовки к ОГЭ, ЕГЭ и олимпиадам.

Какие параметры геометрической прогрессии помогут рассчитать наши калькуляторы?

🔢 Расчёт n-го члена (bₙ)

• По первому члену и знаменателю – формула: bₙ = b₁ · qⁿ⁻¹. Введите b₁, q и номер n. Калькулятор выдаёт значение bₙ и показывает шаг вычисления.
• По любому другому известному члену (например, bₖ) – если известны bₖ, номер k и q, то bₙ = bₖ · qⁿ⁻ᵏ.
• Обратная задача: нахождение номера n по значению bₙ – n = log_q(bₙ / b₁) + 1 (при b₁ > 0, q > 0).

✖️ Расчёт знаменателя (q)

• По двум любым членам – q = (bₘ / bₖ)^{1/(m – k)}. Пример: b₂ = 6, b₅ = 48 → q = (48 / 6)^{1/3} = 8^{1/3} = 2.
• По соседним членам – q = bₙ₊₁ / bₙ.
• По первому члену и n-му члену – qⁿ⁻¹ = bₙ / b₁ → q = (bₙ / b₁)^{1/(n-1)}.

💵 Расчёт суммы первых n членов (Sₙ)

• При q ≠ 1 – формула: Sₙ = b₁ · (qⁿ – 1) / (q – 1).
• При q = 1 – все члены равны b₁, Sₙ = n · b₁.
• По первому и последнему члену (только если известен q) – Sₙ = (b₁ – bₙ·q) / (1 – q) при q ≠ 1.
• Сумма с k-го по m-й член – как разность сумм Sₘ – Sₖ₋₁.

♾️ Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии (|q| < 1)

• Формула: S = b₁ / (1 – q) – если |q| < 1. Калькулятор проверяет условие и вычисляет сумму.
• Применение: перевод бесконечной периодической десятичной дроби в обыкновенную (например, 0.333… = 1/3).

🎯 Нахождение первого члена (b₁)

• По n-му члену и знаменателю – b₁ = bₙ / qⁿ⁻¹.
• По сумме и n – b₁ = Sₙ · (q – 1) / (qⁿ – 1) при q ≠ 1.
• Для бесконечно убывающей: b₁ = S · (1 – q).

📈 Свойства и проверка

• Проверка, является ли последовательность геометрической прогрессией – для трёх введённых чисел проверяется b₂ / b₁ = b₃ / b₂.
• Характеристическое свойство – квадрат любого члена (кроме первого и последнего) равен произведению соседних: bₙ² = bₙ₋₁ · bₙ₊₁. Калькулятор проверяет выполнение.
• Нахождение пропущенного члена (среднего геометрического) – если известны два соседних или два любых члена, можно найти средний: bₙ = √(bₙ₋₁ · bₙ₊₁) (для положительных членов).

📊 Построение прогрессии по условию (текстовые задачи)

• Калькулятор «найти n по сумме» – если известны b₁, q и Sₙ, решает уравнение для n (qⁿ = Sₙ·(q–1)/b₁ + 1).
• Генератор геометрической прогрессии – по b₁ и q выводит первые 5–20 членов.

📉 Практические приложения

• Сложные проценты (банковские вклады, инвестиции) – bₙ = b₁ · (1 + p/100)ⁿ⁻¹, где p – процентная ставка за период.
• Биологический рост популяции (удвоение каждую единицу времени) – q = 2, bₙ = b₁·2ⁿ⁻¹.
• Физика: полураспад радиоактивных веществ – q = 1/2, bₙ = b₁·(1/2)ⁿ⁻¹.
• Экономика (мультипликатор, распространение инфляции).

Почему стоит пользоваться калькуляторами геометрической прогрессии на Weblabo?

• Пошаговое решение – каждое действие отображается, вы можете учиться на примерах.
• Работа с дробными, отрицательными и иррациональными q – например, q = 0.5, q = -3, q = √2.
• Бесконечно убывающая прогрессия – уникальный инструмент для 10-11 классов и вузов.
• Без регистрации, бесплатно – доступно с любого устройства.

Геометрическая прогрессия перестанет быть сложной темой: наши калькуляторы быстро найдут bₙ, q, Sₙ и даже сумму бесконечно убывающей прогрессии. Применяйте в учёбе, финансах и естественных науках с уверенностью.