Основы векторов: определение и вычисление длины

В геометрии вектором называют направленный отрезок прямой. У каждого такого отрезка есть точка начала (например, \(A\)) и точка конца (\(B\)).

Обозначать векторы принято либо двумя заглавными буквами — \(\vec{AB}\), либо одной строчной латинской буквой — \(\vec{a}\). Одной из ключевых характеристик вектора является его модуль.

Что такое длина (модуль) вектора?

• • Определение: Длиной вектора \(\vec{AB}\) называется расстояние между точками \(A\) и \(B\). Это скалярная величина, которая всегда выражается неотрицательным числом.
  • Обозначение: Для записи модуля используются вертикальные скобки: \(|\vec{AB}|\) или \(|\vec{a}|\).
  • Особые случаи:
    — Если начало и конец вектора совпадают, он называется нулевым (\(\vec{0}\)), а его длина равна \(0\).

— Если длина вектора равна \(1\), такой вектор называют единичным.

Формулы для расчетов в координатах

В прямоугольной системе координат модуль вектора находится как корень из суммы квадратов его компонент.

На плоскости (2D)

Если вектор задан парой координат \(\vec{a} = \{a_x; a_y\}\), формула имеет вид:

$$|\vec{a}| = \sqrt{a_x^2 + a_y^2}$$

В пространстве (3D)

Для вектора с тремя координатами \(\vec{a} = \{a_x; a_y; a_z\}\) расчет производится так:

$$|\vec{a}| = \sqrt{a_x^2 + a_y^2 + a_z^2}$$

Примеры решения задач

Пример 1: Вектор по координатам точек

Условие: Найдите длину вектора \(\vec{OA}\), если его начало в точке \(O(0; 0; 0)\), а конец в точке \(A(4; 6; 10)\).

Решение:
$$|\vec{OA}| = \sqrt{4^2 + 6^2 + 10^2} = \sqrt{16 + 36 + 100} = \sqrt{152} \approx 12,32$$

Пример 2: Длина вектора на плоскости

Условие: Дан вектор \(\vec{a} = \{2; 4\}\). Найти его модуль.

Решение:
$$|\vec{a}| = \sqrt{2^2 + 4^2} = \sqrt{4 + 16} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5} \approx 4,47$$

Пример 3: Работа с отрицательными координатами

Условие: Вычислить модуль вектора \(\vec{a} = \{-1; 0; -3\}\).

Решение:
Обратите внимание, что при возведении в квадрат отрицательное число становится положительным:
$$|\vec{a}| = \sqrt{(-1)^2 + 0^2 + (-3)^2} = \sqrt{1 + 0 + 9} = \sqrt{10}$$