Транспонирование матрицы: правила, свойства, примеры и онлайн-калькулятор

Транспонирование матрицы — операция, при которой строки исходной матрицы становятся столбцами, а столбцы — строками. Полученную матрицу обозначают Aᵀ и называют транспонированной к матрице A.

Калькулятор выше позволяет выбрать размер матрицы до 9×9, ввести целые, отрицательные или десятичные элементы и мгновенно получить результат. Доступен быстрый ввод: строки можно разделять точкой с запятой или переносом строки, а элементы внутри строки — пробелами.

К какому разделу математики относится транспонирование матрицы?

Транспонирование матриц относится к линейной алгебре — разделу алгебры, изучающему матрицы, определители, векторы, системы линейных уравнений и линейные преобразования.

Что такое матрица?

Матрица — прямоугольная таблица чисел или других математических объектов, расположенных в строках и столбцах. Общий вид матрицы A размера m×n:

A = [a₁₁ a₁₂ … a₁ₙ
a₂₁ a₂₂ … a₂ₙ
… … … …
aₘ₁ aₘ₂ … aₘₙ]

Первое число в размере m×n обозначает количество строк, второе — количество столбцов. Элемент aᵢⱼ находится в строке с номером i и столбце с номером j.

Определение транспонированной матрицы

Транспонированной к матрице A называется матрица Aᵀ, элементы которой определяются равенством:

(Aᵀ)ᵢⱼ = Aⱼᵢ

Иначе говоря, элемент aᵢⱼ исходной матрицы переходит на позицию aⱼᵢ:

aᵢⱼ → aⱼᵢ

Поэтому первая строка становится первым столбцом, вторая строка — вторым столбцом и так далее.

Как меняется размер матрицы?

Если исходная матрица A имеет размер m×n, то транспонированная матрица Aᵀ имеет размер n×m:

Am×n → Aᵀn×m

• матрица 2×3 превращается в матрицу 3×2;
• матрица 4×1 превращается в матрицу 1×4;
• размер квадратной матрицы n×n не меняется.

Как транспонировать матрицу вручную?

1. Определите количество строк и столбцов исходной матрицы.
2. Создайте пустую матрицу обратного размера.
3. Перенесите первую строку в первый столбец.
4. Перенесите вторую строку во второй столбец.
5. Повторите действие для всех строк.
6. Проверьте соответствие каждого элемента правилу aᵢⱼ → aⱼᵢ.

Подробные примеры

Пример 1. Прямоугольная матрица 3×2

Дана матрица:

A = [6 8
4 3
5 8]

Она имеет три строки и два столбца. После транспонирования получим два ряда, составленные из исходных столбцов:

Aᵀ = [6 4 5
8 3 8]

Размер изменился с 3×2 на 2×3.

Пример 2. Матрица 2×3

B = [4 9 1
7 5 3]

Первая строка 4 9 1 становится первым столбцом, а вторая строка 7 5 3 — вторым:

Bᵀ = [4 7
9 5
1 3]

Пример 3. Квадратная матрица

C = [1 2 3
4 5 6
7 8 9]

Cᵀ = [1 4 7
2 5 8
3 6 9]

Размер остался 3×3. Элементы главной диагонали 1, 5, 9 сохранили позиции, а остальные элементы поменялись местами симметрично относительно диагонали.

Пример 4. Матрица-строка

Матрица из одной строки:

D = [2 −1 5 7]

После транспонирования становится матрицей-столбцом:

Dᵀ = [ 2
−1
5
7]

Пример 5. Матрица-столбец

E = [3
0
−4]

Транспонированная матрица является строкой:

Eᵀ = [3 0 −4]

Пример 6. Десятичные элементы

F = [1,5 2,5
3,5 4,5]

Fᵀ = [1,5 3,5
2,5 4,5]

Транспонирование не изменяет сами числа: меняются только их позиции.

Главная диагональ

Главная диагональ квадратной матрицы состоит из элементов a₁₁, a₂₂, …, aₙₙ. При транспонировании эти элементы остаются на своих местах, потому что при перестановке одинаковых индексов ничего не меняется:

aᵢᵢ → aᵢᵢ

Остальные элементы отражаются относительно главной диагонали.

Свойства транспонирования матриц

Двойное транспонирование

Если транспонировать матрицу дважды, получится исходная матрица:

(Aᵀ)ᵀ = A

Транспонирование суммы

Транспонированная сумма равна сумме транспонированных матриц:

(A + B)ᵀ = Aᵀ + Bᵀ

Матрицы A и B должны иметь одинаковый размер.

Умножение на число

Числовой множитель можно вынести за знак транспонирования:

(λA)ᵀ = λAᵀ

Транспонирование произведения

При транспонировании произведения порядок множителей меняется на обратный:

(AB)ᵀ = BᵀAᵀ

Это важное правило: запись AᵀBᵀ в общем случае будет неправильной, поскольку умножение матриц некоммутативно.

Определитель

Определитель квадратной матрицы при транспонировании не меняется:

det(Aᵀ) = det(A)

Ранг

Ранг матрицы также сохраняется:

rank(Aᵀ) = rank(A)

Симметричная матрица

Квадратная матрица называется симметричной, если она совпадает со своей транспонированной:

Aᵀ = A

У симметричной матрицы элементы, расположенные симметрично относительно главной диагонали, равны: aᵢⱼ = aⱼᵢ.

A = [2 3 1
3 5 4
1 4 7]

Эта матрица не изменяется после транспонирования.

Кососимметричная матрица

Матрица называется кососимметричной, если:

Aᵀ = −A

На главной диагонали такой матрицы находятся нули, а симметричные элементы имеют противоположные знаки.

Транспонирование и обратная матрица

Транспонированная и обратная матрицы — разные понятия:

• Aᵀ получают заменой строк на столбцы;
• A⁻¹ является матрицей, для которой AA⁻¹ = A⁻¹A = I.

Обратная матрица существует не для каждой квадратной матрицы, а транспонировать можно любую прямоугольную матрицу.

Сопряженное транспонирование

Для матриц с комплексными элементами часто используют сопряженное транспонирование: сначала матрицу транспонируют, затем каждый элемент заменяют комплексно-сопряженным. Такую операцию обозначают A* или Aᴴ. Обычное транспонирование не меняет знак мнимой части.

Где применяется транспонирование?

• Решение систем уравнений: преобразование коэффициентов и работа с линейными операторами.
• Анализ данных: изменение ориентации таблиц «наблюдения × признаки».
• Машинное обучение: матричные вычисления, градиенты и нейронные сети.
• Компьютерная графика: преобразования координат и нормалей.
• Статистика: ковариационные матрицы и формулы вида XᵀX.
• Физика и инженерия: тензоры, системы координат и расчетные модели.
• Программирование: изменение структуры двумерных массивов и таблиц.

Типичные ошибки

• Перестановка элементов внутри каждой строки. Нужно менять строки и столбцы, а не разворачивать строки задом наперед.
• Сохранение размера прямоугольной матрицы. Размер m×n обязательно меняется на n×m.
• Изменение числовых значений. При транспонировании меняются позиции, но не сами элементы.
• Неправильный порядок произведения. Верно: (AB)ᵀ = BᵀAᵀ.
• Путаница с обратной матрицей. Транспонирование не является нахождением обратной матрицы.
• Неровные строки при быстром вводе. Все строки должны содержать одинаковое количество элементов.

Как пользоваться калькулятором?

1. Выберите количество строк и столбцов матрицы.
2. Введите элементы в появившиеся ячейки.
3. Либо вставьте матрицу в поле быстрого ввода, разделяя строки точкой с запятой или переносом.
4. Нажмите кнопку «Транспонировать».
5. Получите матрицу Aᵀ обратного размера.
6. При необходимости скопируйте результат для таблицы или другого вычисления.

Частые вопросы

Можно ли транспонировать прямоугольную матрицу?

Да. Транспонировать можно матрицу любого размера. Матрица m×n превратится в матрицу n×m.

Меняется ли определитель?

Нет. Для квадратной матрицы выполняется равенство det(Aᵀ) = det(A).

Что происходит с главной диагональю?

Элементы главной диагонали квадратной матрицы остаются на прежних позициях.

Что получится после двойного транспонирования?

Исходная матрица: (Aᵀ)ᵀ = A.

Можно ли вводить дробные и отрицательные числа?

Да. Калькулятор принимает отрицательные и десятичные элементы. Десятичную часть можно отделять точкой или запятой.

По теме: Возведение матрицы в квадрат, Сопряженная матрица, Определитель матрицы, Обратная матрица, Калькулятор собственных значений и векторов матрицы, Произведение матриц.