Тренажёр тригонометрии онлайн с проверкой ответов

Тригонометрия изучает связи между углами и сторонами треугольников, а также свойства тригонометрических функций. Онлайн-тренажёр помогает запомнить значения синуса, косинуса, тангенса и котангенса, научиться определять их знаки, переводить градусы в радианы и применять основные тождества.

Что изучает тригонометрия

Первоначально тригонометрия возникла для решения треугольников. Сегодня она применяется при изучении периодических процессов, колебаний, волн, вращения, координат, физических сигналов и многих инженерных задач.

Основными функциями являются синус, косинус, тангенс и котангенс угла.

Синус и косинус острого угла

В прямоугольном треугольнике синус острого угла равен отношению противолежащего катета к гипотенузе. Косинус равен отношению прилежащего катета к гипотенузе.

sin α = противолежащий катет : гипотенуза

cos α = прилежащий катет : гипотенуза

Тангенс и котангенс

Тангенс острого угла равен отношению противолежащего катета к прилежащему. Котангенс — обратное отношение.

tan α = sin α : cos α

cot α = cos α : sin α

Тангенс не определён при cos α = 0, а котангенс не определён при sin α = 0.

Как пользоваться тренажёром

1. Выберите уровень сложности.
2. Укажите количество заданий и настройте таймер.
3. Отметьте нужные темы.
4. Выберите один из предложенных вариантов ответа.
5. Изучите объяснение после проверки.
6. После серии повторите задания, в которых были ошибки.

Таблица значений стандартных углов

Как запомнить синусы стандартных углов

Для углов 0°, 30°, 45°, 60° и 90° значения синуса можно представить как √0/2, √1/2, √2/2, √3/2 и √4/2. После упрощения получаем 0, 1/2, √2/2, √3/2 и 1.

Значения косинуса идут в обратном порядке: 1, √3/2, √2/2, 1/2 и 0.

Единичная окружность

На единичной окружности точке угла α соответствуют координаты (cos α; sin α). Поэтому косинус является горизонтальной координатой, а синус — вертикальной.

Единичная окружность позволяет определять значения функций для углов больше 90°, отрицательных углов и углов, превышающих полный оборот.

Знаки функций по четвертям

• в I четверти все четыре функции положительны;
• во II четверти положителен синус, остальные функции отрицательны;
• в III четверти положительны тангенс и котангенс;
• в IV четверти положителен косинус.

Знак определяется координатами точки на единичной окружности. Тангенс и котангенс положительны, когда синус и косинус имеют одинаковые знаки.

Градусная мера угла

Полный оборот равен 360°, развёрнутый угол — 180°, прямой угол — 90°. Градусная мера удобна для геометрических построений и бытовых задач.

Радианная мера угла

Один радиан — центральный угол, опирающийся на дугу, длина которой равна радиусу окружности. Полный оборот равен 2π радиан, а развёрнутый угол — π радиан.

180° = π радиан

Перевод градусов в радианы

Чтобы перевести градусы в радианы, умножьте значение на π и разделите на 180:

α радиан = α градусов × π : 180

Пример: 60° = 60 × π : 180 = π/3.

Перевод радиан в градусы

Чтобы перевести радианы в градусы, умножьте значение на 180 и разделите на π.

Пример: 3π/4 = 3 × 180° : 4 = 135°.

Основное тригонометрическое тождество

sin² α + cos² α = 1

Тождество следует из уравнения единичной окружности. Оно позволяет найти модуль одной функции, если известна другая. Знак выбирают с учётом четверти.

Пример

Если sin α = 3/5 и угол находится в I четверти, то cos² α = 1 − 9/25 = 16/25, поэтому cos α = 4/5.

Тождества для тангенса и котангенса

1 + tan² α = 1 / cos² α

1 + cot² α = 1 / sin² α

Они получаются делением основного тождества соответственно на cos² α или sin² α.

Чётность и нечётность функций

• sin(−α) = −sin α;
• cos(−α) = cos α;
• tan(−α) = −tan α;
• cot(−α) = −cot α.

Косинус является чётной функцией. Синус, тангенс и котангенс — нечётные.

Периодичность

Синус и косинус имеют период 360°, или 2π радиан. Тангенс и котангенс имеют период 180°, или π радиан.

• sin(α + 360°) = sin α;
• cos(α + 360°) = cos α;
• tan(α + 180°) = tan α;
• cot(α + 180°) = cot α.

Формулы дополнительных углов

• sin(90° − α) = cos α;
• cos(90° − α) = sin α;
• tan(90° − α) = cot α;
• cot(90° − α) = tan α.

Область значений

Синус и косинус принимают значения от −1 до 1 включительно. Тангенс и котангенс могут принимать любые действительные значения в тех точках, где определены.

Где применяется тригонометрия

• решение треугольников;
• расчёт высот и расстояний;
• навигация и геодезия;
• физика колебаний и волн;
• электротехника и обработка сигналов;
• компьютерная графика и анимация;
• архитектура и строительство;
• астрономия.

Типичные ошибки

• путают значения синуса и косинуса для 30° и 60°;
• забывают учитывать четверть и знак функции;
• считают, что tan 90° равен нулю;
• смешивают градусы и радианы;
• не сокращают дробь с π;
• применяют формулу тангенса при нулевом косинусе;
• извлекая корень из квадрата, забывают выбрать знак по четверти.

Как эффективно тренироваться

1. Выучите значения синуса и косинуса пяти основных углов.
2. Получайте тангенс и котангенс через отношение функций.
3. Повторите знаки по четвертям на единичной окружности.
4. Запомните соответствие 180° и π радиан.
5. Добавьте основные тождества.
6. Повторяйте ошибки отдельной серией.

Частые вопросы

К какому разделу математики относится тренажёр?

Он относится к тригонометрии, которая связана с геометрией и алгеброй.

Чему равен sin 30°?

Синус 30 градусов равен 1/2.

Чему равен cos 60°?

Косинус 60 градусов равен 1/2.

Когда тангенс не определён?

Тангенс не определён при cos α = 0, например для 90° и 270°.

Сколько радиан в 180 градусах?

180 градусов соответствуют π радиан.

Можно ли повторить ошибки?

Да. После завершения серии можно повторить только ошибочные задания.

По теме: синус угла, косинус угла, тангенс угла, котангенс угла, арксинус, арккосинус, арктангенс, арккотангенс.