Арктангенс: формула, свойства, таблица значений и онлайн-калькулятор

Арктангенс — обратная тригонометрическая функция, позволяющая найти угол по известному тангенсу. Если tan α = x, то главное значение записывают как α = arctan x. Калькулятор принимает любое действительное число и показывает угол в градусах и радианах.

Что такое арктангенс

Арктангенс числа x — это угол α строго между −90° и 90°, тангенс которого равен x:

arctan x = α, если tan α = x и −90° < α < 90°

Обозначения arctan x, atan x и tan⁻¹x обычно означают одну функцию. Последняя запись не равна 1/tan x: обратная величина тангенса — котангенс.

Область определения и значений

• Область определения: все действительные числа.
• Область значений: −π/2 < arctan x < π/2, или строго от −90° до 90°.

Границы не включаются: арктангенс любого конечного числа никогда не равен точно ±90°.

Таблица стандартных значений

Как найти арктангенс

1. Введите известное значение тангенса.
2. Если оно стандартное, используйте таблицу.
3. Для произвольного числа воспользуйтесь калькулятором.
4. Выберите главное значение из интервала (−90°; 90°).
5. Проверьте результат, вычислив тангенс найденного угла.

Примеры вычисления

Арктангенс 1

tan 45° = 1, следовательно, arctan 1 = 45° = π/4.

Арктангенс −1

Арктангенс — нечётная функция: arctan(−x) = −arctan x. Поэтому arctan(−1) = −45°.

Арктангенс √3

arctan √3 = 60° = π/3.

Арктангенс 10

arctan 10 ≈ 84,289407° ≈ 1,471128 рад. При росте аргумента результат приближается к 90°, но не достигает его.

Почему возвращается один угол

Тангенс имеет период 180°, поэтому одному значению соответствуют бесконечно многие углы. Например, тангенс 45°, 225° и −135° равен 1. Для однозначности arctan возвращает только угол между −90° и 90°.

Решение уравнения tan α = x

Главное значение даёт arctan x, а общее решение учитывает период:

α = arctan x + 180°k

или α = arctan x + πk, где k — любое целое число.

Основные свойства

• tan(arctan x) = x для любого действительного x;
• arctan(tan α) = α непосредственно только при −90° < α < 90°;
• arctan(−x) = −arctan x;
• функция строго возрастает;
• arctan x + arctan(1/x) = π/2 при x > 0 и −π/2 при x < 0.

График y = arctan x

График проходит через начало координат и возрастает на всей числовой прямой. Прямые y = π/2 и y = −π/2 являются горизонтальными асимптотами.

Производная и интеграл

(arctan x)' = 1 / (1 + x²)

∫ arctan x dx = x arctan x − 1/2 ln(1 + x²) + C

Арктангенс и atan2

Обычный arctan по отношению y/x не различает противоположные направления и не работает при x = 0. В программировании для координат часто применяют atan2(y, x), который учитывает знаки обеих координат и возвращает правильную четверть.

Где применяется

• нахождение угла наклона по отношению подъёма к расстоянию;
• решение прямоугольных треугольников;
• геодезия, навигация и картография;
• физика и разложение векторов;
• компьютерная графика и определение направления.

Частые ошибки

• Арктангенс путают с котангенсом. arctan x не равен 1/tan x.
• Ожидают угол 90°. Для конечного аргумента arctan не достигает ±90°.
• Путают градусы и радианы.
• Главное значение принимают за все решения.
• Для координат используют atan вместо atan2.

Как пользоваться калькулятором

1. Введите любое действительное значение тангенса.
2. Выберите градусы или радианы.
3. Укажите точность.
4. Нажмите «Найти арктангенс».
5. Изучите точный или приближённый ответ и проверку.

Ответы на частые вопросы

Чему равен arctan 0?

arctan 0 = 0.

Чему равен arctan 1?

arctan 1 = 45° = π/4.

Можно ли вычислить arctan 100?

Да. Арктангенс определён для любого действительного числа.

Может ли arctan равняться 90°?

Нет, для конечного аргумента он только приближается к 90°.

По теме: тренажёр тригонометрии.