Арккосинус: формула, свойства, таблица значений и онлайн-калькулятор

Арккосинус — обратная тригонометрическая функция, позволяющая найти угол по известному значению косинуса. Если cos α = x, то главное значение угла записывают как α = arccos x. Калькулятор принимает число от −1 до 1 и показывает результат в градусах и радианах.

Что такое арккосинус

Арккосинус числа x — это угол α от 0° до 180°, косинус которого равен x:

arccos x = α, если cos α = x и 0° ≤ α ≤ 180°

Обозначения arccos x и cos⁻¹x равнозначны. При этом cos⁻¹x не означает 1/cos x: обратная величина косинуса называется секансом.

Область определения и значений

• Область определения: −1 ≤ x ≤ 1.
• Область значений: 0 ≤ arccos x ≤ π, или от 0° до 180°.

Арккосинус убывает: чем больше x, тем меньше возвращаемый угол.

Таблица значений арккосинуса

Как найти арккосинус

1. Убедитесь, что аргумент находится от −1 до 1.
2. Для стандартного числа используйте таблицу.
3. Для произвольного значения воспользуйтесь калькулятором.
4. Выберите главное значение только из диапазона 0°…180°.
5. Проверьте результат, вычислив косинус найденного угла.

Примеры

Арккосинус 0,5

Поскольку cos 60° = 0,5, то arccos 0,5 = 60° = π/3.

Арккосинус −0,5

cos 120° = −0,5, поэтому arccos(−0,5) = 120° = 2π/3.

Арккосинус нуля

arccos 0 = 90° = π/2.

Арккосинус 0,8

Это нестандартное значение: arccos 0,8 ≈ 36,869898° ≈ 0,643501 рад.

Почему возвращается только один угол

Одному значению косинуса соответствует бесконечно много углов. Например, косинус 60° и 300° равен 1/2. Чтобы обратная функция была однозначной, её значения ограничили промежутком от 0° до 180°. Поэтому arccos(1/2) равен 60°, а не 300°.

Арккосинус и уравнения

Для уравнения cos α = x главное значение — только часть решения. Общее решение:

α = ±arccos x + 360°k

или в радианах α = ±arccos x + 2πk, где k — целое число.

Основные свойства

• cos(arccos x) = x при −1 ≤ x ≤ 1;
• arccos(cos α) = α непосредственно только при 0 ≤ α ≤ π;
• arccos(−x) = π − arccos x;
• arcsin x + arccos x = π/2;
• арккосинус строго убывает на отрезке от −1 до 1.

График функции y = arccos x

График получается отражением ограниченной ветви косинуса относительно прямой y = x. Он проходит через точки (−1; π), (0; π/2) и (1; 0) и убывает на всей области определения.

Производная и интеграл

При −1 < x < 1:

(arccos x)' = −1 / √(1 − x²)

Неопределённый интеграл:

∫ arccos x dx = x arccos x − √(1 − x²) + C

Связь с арксинусом

Арккосинус можно выразить через арксинус:

arccos x = π/2 − arcsin x

В градусах: arccos x = 90° − arcsin x.

Где применяется

• нахождение углов треугольника;
• теорема косинусов;
• угол между векторами через скалярное произведение;
• компьютерная графика и трёхмерное моделирование;
• физика, механика, навигация и геодезия.

Частые ошибки

• Аргумент вне диапазона. Действительный arccos определён только от −1 до 1.
• Арккосинус путают с секансом. arccos x не равен 1/cos x.
• Выбирают угол вне 0°…180°. Главное значение arccos находится только на этом промежутке.
• Путают градусы и радианы.
• Главное значение принимают за полное решение уравнения.

Как пользоваться калькулятором

1. Введите значение косинуса от −1 до 1.
2. Выберите основную единицу ответа.
3. Задайте точность.
4. Нажмите «Найти арккосинус».
5. Изучите ответ, точное значение и проверку через косинус.

Ответы на частые вопросы

Чему равен arccos 0?

arccos 0 = 90° = π/2.

Чему равен arccos 1?

arccos 1 = 0°.

Чему равен arccos −1?

arccos(−1) = 180° = π.

Можно ли найти arccos 2?

В действительных числах нельзя: 2 находится вне допустимого диапазона.

По теме: тренажёр тригонометрии.