Арксинус: формула, свойства, таблица значений и онлайн-калькулятор

Арксинус — обратная тригонометрическая функция, которая позволяет найти угол по известному значению его синуса. Если известно, что sin α = x, то главное значение угла записывают как α = arcsin x. Онлайн-калькулятор принимает число от −1 до 1 и показывает угол одновременно в градусах и радианах.

Что такое арксинус

Арксинус числа x — это угол α из промежутка от −90° до 90°, синус которого равен x:

arcsin x = α, если sin α = x и −90° ≤ α ≤ 90°

Обозначения arcsin x и sin⁻¹x равнозначны. При этом sin⁻¹x не означает 1/sin x: обратная величина синуса называется косекансом, а не арксинусом.

Область определения и область значений

• Область определения: −1 ≤ x ≤ 1.
• Область значений: −π/2 ≤ arcsin x ≤ π/2, или от −90° до 90°.

Ограничение связано с тем, что синус действительного угла никогда не бывает меньше −1 или больше 1.

Таблица значений арксинуса

Как найти арксинус

1. Проверьте, что число находится от −1 до 1.
2. Найдите в таблице стандартное значение или воспользуйтесь калькулятором.
3. Выберите главное значение угла только из диапазона от −90° до 90°.
4. При необходимости переведите радианы в градусы.
5. Проверьте результат, вычислив синус найденного угла.

Примеры вычисления

Арксинус 0,5

Поскольку sin 30° = 0,5, получаем arcsin 0,5 = 30° = π/6.

Арксинус −0,5

Арксинус является нечётной функцией: arcsin(−x) = −arcsin x. Поэтому arcsin(−0,5) = −30° = −π/6.

Арксинус 1

arcsin 1 = 90° = π/2, потому что синус 90° равен единице.

Арксинус 0,8

Это не стандартное табличное значение. Калькулятор даёт arcsin 0,8 ≈ 53,130102° ≈ 0,927295 рад.

Почему арксинус возвращает только один угол

Одному значению синуса соответствует бесконечно много углов. Например, синус 30° и 150° равен 1/2. Чтобы обратная функция была однозначной, для арксинуса выбран промежуток от −90° до 90°. Поэтому arcsin(1/2) равен именно 30°, а не 150°.

Арксинус и тригонометрические уравнения

Если требуется решить уравнение sin α = x, одного главного значения недостаточно. Общее решение в градусах:

α = (−1)ᵏ arcsin x + 180°k

где k — любое целое число. Эквивалентная запись: α = arcsin x + 360°k или α = 180° − arcsin x + 360°k.

Основные свойства

• sin(arcsin x) = x при −1 ≤ x ≤ 1;
• arcsin(sin α) = α только при −90° ≤ α ≤ 90°;
• arcsin(−x) = −arcsin x;
• функция строго возрастает на всём промежутке от −1 до 1;
• arcsin x + arccos x = π/2.

График функции y = arcsin x

График арксинуса получается отражением ограниченного графика синуса относительно прямой y = x. Он проходит через точки (−1; −π/2), (0; 0) и (1; π/2) и на всём промежутке возрастает.

Производная и интеграл

Для −1 < x < 1 производная равна:

(arcsin x)' = 1 / √(1 − x²)

Неопределённый интеграл:

∫ arcsin x dx = x arcsin x + √(1 − x²) + C

Где применяется арксинус

• нахождение угла в прямоугольном треугольнике;
• определение угла подъёма и наклона;
• физика волн и колебаний;
• навигация и геодезия;
• компьютерная графика и восстановление угла по координатам.

Частые ошибки

• Ввод числа вне диапазона. Для действительного арксинуса допустимы только значения от −1 до 1.
• Арксинус путают с обратной величиной. arcsin x не равен 1/sin x.
• Выбирают угол вне главного диапазона. Арксинус возвращает только значение от −90° до 90°.
• Путают градусы и радианы. Проверяйте единицу ответа.
• Главное значение принимают за полное решение уравнения. Для уравнения необходимо учитывать периодичность синуса.

Как пользоваться калькулятором

1. Введите значение синуса от −1 до 1.
2. Выберите основную единицу ответа.
3. Укажите точность.
4. Нажмите «Найти арксинус».
5. Изучите ответ в градусах и радианах, точное значение и проверку.

Ответы на частые вопросы

Чему равен arcsin 0?

arcsin 0 = 0.

Чему равен arcsin 1?

arcsin 1 = 90° = π/2.

Можно ли найти arcsin 2?

В действительных числах нельзя, поскольку 2 находится вне диапазона от −1 до 1.

Чем arcsin отличается от sin?

Синус получает угол и возвращает число, а арксинус получает число от −1 до 1 и возвращает главное значение угла.

По теме: тренажёр тригонометрии.