Теоремы: от Пифагора до Виета — калькуляторы для геометрии и алгебры

Теоремы — это фундамент математики. Они позволяют выводить новые свойства фигур, решать уравнения и доказывать утверждения. В этом разделе собраны калькуляторы, которые помогут вам применить ключевые теоремы на практике: найти гипотенузу по теореме Пифагора, вычислить неизвестные стороны и углы треугольника по теоремам синусов и косинусов, проверить теорему Виета для квадратного уравнения, применить теорему Фалеса для пропорциональных отрезков, а также разобраться с биномом Ньютона, теоремой Безу, теоремой о вписанном угле и другими. Инструменты пригодятся школьникам (7–11 классы), студентам, учителям и всем, кто изучает математику на углублённом уровне.

Какие теоремы помогут применить наши калькуляторы?

📐 Теорема Пифагора

• Нахождение гипотенузы по двум катетам – c = √(a² + b²).
• Нахождение катета по гипотенузе и другому катету – a = √(c² – b²).
• Проверка, является ли треугольник прямоугольным – калькулятор проверяет равенство a² + b² = c².
• Применение в задачах (диагональ прямоугольника, высота равнобедренного треугольника) – отдельные сценарии.

📐 Теоремы синусов и косинусов (для треугольников)

• Теорема синусов: a / sin A = b / sin B = c / sin C = 2R – калькулятор по двум сторонам и одному противолежащему углу находит остальные параметры.
• Теорема косинусов: a² = b² + c² – 2bc·cos A – нахождение стороны по двум другим и углу между ними, или нахождение угла по трём сторонам.
• Решение треугольника (все стороны и углы) – комбинированный калькулятор с выбором известных данных (например, сторона-сторона-сторона, сторона-угол-сторона и т.д.).

➕ Теорема Виета (для квадратных уравнений)

• Для приведённого уравнения x² + px + q = 0 – сумма корней равна –p, произведение корней равно q. Калькулятор проверяет, являются ли заданные числа корнями, или находит корни по сумме и произведению.
• Подбор корней устно – помогает решать квадратные уравнения без дискриминанта.

📏 Теорема Фалеса

• Если параллельные прямые отсекают на одной стороне угла отрезки, то на другой стороне они отсекают пропорциональные отрезки – калькулятор проверяет пропорциональность: AB/BC = A’B’/B’C’.
• Нахождение неизвестного отрезка по трём известным – решение пропорции.

🔺 Теорема о сумме углов треугольника

• Сумма внутренних углов = 180° – калькулятор по двум известным углам находит третий, либо проверяет правильность задания.
• Внешний угол треугольника – равен сумме двух внутренних, не смежных с ним.

⭕ Теоремы об окружности

• Вписанный угол равен половине центрального, опирающегося на ту же дугу – калькулятор находит один угол по другому.
• Угол между касательной и хордой – равен половине дуги, заключённой между ними.
• Теорема о произведении отрезков пересекающихся хорд – a·b = c·d (где a,b,c,d – отрезки хорд). Калькулятор находит неизвестный отрезок.
• Теорема о квадрате касательной – t² = a·b (касательная и секущая).

🧮 Теорема Безу (остаток от деления многочлена)

• Остаток от деления многочлена P(x) на (x – a) равен P(a) – калькулятор для многочленов до 5-й степени вычисляет значение P(a) и говорит, является ли (x – a) делителем.

🔢 Бином Ньютона

• Разложение (a + b)ⁿ для n от 1 до 10 – с биномиальными коэффициентами (треугольник Паскаля).
• Расчёт конкретного члена разложения – например, k-й член.

📐 Теоремы Чевы и Менелая (для треугольника и секущих)

• Теорема Чевы (условие пересечения медиан, биссектрис, высот в одной точке) – для отрезков на сторонах треугольника: (AF/FB)·(BD/DC)·(CE/EA) = 1. Калькулятор проверяет выполнение.
• Теорема Менелая (для секущей, пересекающей стороны треугольника) – (AF/FB)·(BD/DC)·(CE/EA) = 1 (с учётом знаков для направленных отрезков). Калькулятор вычисляет неизвестное отношение.

📈 Теорема Лагранжа (о среднем) – для дифференциального исчисления (справочно)

• Вычисление производной и нахождение точки c, где f'(c) = (f(b)-f(a))/(b-a) – для простых функций (линейная, квадратичная).

Почему стоит пользоваться калькуляторами теорем на Weblabo?

• Наглядная проверка – каждый калькулятор не только вычисляет результат, но и показывает формулировку теоремы, подстановку и вывод.
• Широкий охват – от школьных теорем (Пифагор, Фалес) до продвинутых (Чева, Менелай, Безу).
• Помощь в решении задач – например, применение теоремы косинусов для нахождения стороны или угла.
• Без регистрации, бесплатно – доступно с любого устройства.

Теоремы — это не просто сухие утверждения, а мощные инструменты для решения задач. Наши калькуляторы помогут вам быстро проверить их применение, получить точный ответ и лучше понять математику.