Теорема косинусов: формулы, калькулятор и примеры решений

Теорема косинусов — это одно из важнейших правил геометрии, которое позволяет решать задачи с любыми произвольными треугольниками. Ее часто называют «обобщенной теоремой Пифагора», так как она работает не только для прямоугольных, но и для остроугольных и тупоугольных треугольников.

Наш интерактивный онлайн-калькулятор поможет вам в два клика найти неизвестную сторону (если известны две другие и угол между ними) или найти неизвестный угол (если известны все три стороны). Инструмент автоматически распишет пошаговое решение задачи.

Формула теоремы косинусов

Классическая формулировка теоремы звучит так:

Квадрат любой стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними.

Математически это записывается следующей формулой:

$$c^2 = a^2 + b^2 — 2ab \cdot \cos(\gamma)$$

Где:

• $c$ — искомая сторона треугольника.
• $a$ и $b$ — две другие известные стороны.
• $\gamma$ (гамма) — угол, лежащий напротив искомой стороны $c$ (то есть угол между сторонами $a$ и $b$).

Аналогичным образом формулу можно записать для нахождения любой другой стороны:

• $a^2 = b^2 + c^2 — 2bc \cdot \cos(\alpha)$
• $b^2 = a^2 + c^2 — 2ac \cdot \cos(\beta)$

Как найти угол треугольника? (Следствие из теоремы)

Теорема косинусов уникальна тем, что ее можно «вывернуть наизнанку». Если вам известны длины всех трех сторон треугольника, вы можете легко найти любой его угол. Для этого базовую формулу преобразуют, выражая косинус угла:

$$\cos(\gamma) = \frac{a^2 + b^2 — c^2}{2ab}$$

Получив значение косинуса, сам угол находится с помощью функции арккосинуса ($\arccos$).

(Наш калькулятор умеет делать это автоматически — просто переключитесь на вкладку «Найти угол» и введите три стороны).

Пример решения задачи (поиск стороны)

Давайте рассмотрим классическую школьную задачу. Дано: в треугольнике сторона $a = 5$ см, сторона $b = 7$ см, а угол между ними $\gamma = 60^\circ$. Найти: сторону $c$.

Решение:

1. Записываем формулу: $c^2 = a^2 + b^2 — 2ab \cdot \cos(\gamma)$
2. Подставляем наши значения: $c^2 = 5^2 + 7^2 — 2 \cdot 5 \cdot 7 \cdot \cos(60^\circ)$
3. Возводим в квадрат и вспоминаем табличное значение косинуса ($\cos(60^\circ) = 0.5$): $c^2 = 25 + 49 — 70 \cdot 0.5$
4. Выполняем арифметические действия: $c^2 = 74 — 35 = 39$
5. Находим саму сторону, извлекая корень: $c = \sqrt{39} \approx 6.24$ см.

Ответ: длина стороны $c$ составляет примерно 6.24 см.

Практическое применение

Зачем вообще нужна эта теорема? В реальной жизни не всегда можно измерить расстояние напрямую.

• В геодезии и картографии: Если вы стоите в точке А и знаете расстояние до точек B и C, а также угол между направлениями на них, вы можете точно вычислить расстояние между объектами B и C, даже если между ними непроходимое болото.
• В физике: Для нахождения равнодействующей силы, когда две силы направлены под углом друг к другу.
• В навигации: Системы GPS используют сложные тригонометрические расчеты (основанные на теоремах косинусов и синусов) для определения вашего точного местоположения по сигналам со спутников.

Добавьте эту страницу в закладки, чтобы калькулятор по геометрии всегда был под рукой для проверки домашних заданий и инженерных расчетов!

По теме: Расчёт углов треугольника по теореме косинусов, Теорема синусов.