Котангенс угла: формулы, свойства, таблица значений и онлайн-калькулятор

Котангенс угла — тригонометрическая функция, обратная тангенсу в смысле отношения. Она применяется при решении треугольников, преобразовании выражений, вычислении углов, уклонов и проекций. Онлайн-калькулятор находит котангенс в градусах или радианах, показывает точные значения стандартных углов и подробное решение.

Что такое котангенс угла

В прямоугольном треугольнике котангенс острого угла равен отношению прилежащего катета к противолежащему:

cot α = прилежащий катет / противолежащий катет

В русскоязычных учебниках также используется обозначение ctg α. Записи cot α и ctg α означают одну и ту же функцию.

Связь котангенса с синусом и косинусом

Котангенс равен отношению косинуса к синусу:

cot α = cos α / sin α

Также при существовании обеих функций:

cot α = 1 / tan α

На единичной окружности косинус является горизонтальной координатой точки, а синус — вертикальной. Если синус равен нулю, знаменатель обращается в ноль и котангенс не существует.

Когда котангенс не существует

Котангенс не определён при углах:

α = 180°k

или в радианах:

α = πk

где k — любое целое число. К таким углам относятся 0°, 180°, 360°, −180°. Во всех этих случаях sin α = 0.

Градусы и радианы

Для перевода единиц применяются формулы:

αрад = α° × π / 180

α° = αрад × 180 / π

Например, 30° = π/6, 90° = π/2, 180° = π.

Таблица котангенсов стандартных углов

Как вычислить котангенс

1. Определите единицу измерения угла.
2. При необходимости переведите градусы в радианы.
3. Используйте период 180°, чтобы привести угол к удобному значению.
4. Найдите синус и косинус угла.
5. Если синус равен нулю, котангенс не существует.
6. В остальных случаях разделите косинус на синус.

Примеры вычисления

Котангенс 30 градусов

cos 30° = √3/2, а sin 30° = 1/2. Поэтому:

cot 30° = (√3/2) / (1/2) = √3 ≈ 1,732051

Котангенс 45 градусов

При 45° синус и косинус равны, поэтому их отношение равно единице: cot 45° = 1.

Котангенс 120 градусов

Угол находится во II четверти. Косинус отрицателен, синус положителен, поэтому cot 120° = −√3/3.

Котангенс 90 градусов

cos 90° = 0, а sin 90° = 1. Следовательно, cot 90° = 0/1 = 0.

Котангенс отрицательного угла

Котангенс является нечётной функцией: cot(−α) = −cot α. Например, cot(−45°) = −1.

Период котангенса

Котангенс повторяется через 180° или π радиан:

cot(α + 180°k) = cot α

cot(α + πk) = cot α

Например, cot 225° = cot 45° = 1.

Знаки котангенса по четвертям

Котангенс и тангенс имеют одинаковые знаки, поскольку являются взаимно обратными значениями там, где обе функции существуют.

Основные свойства котангенса

• Область определения: все действительные углы, кроме πk.
• Область значений: все действительные числа.
• Период: π радиан или 180°.
• Нечётность: cot(−α) = −cot α.
• Нули: α = π/2 + πk.
• Монотонность: на каждом промежутке определения котангенс убывает.

Основные тождества

cot α = cos α / sin α

cot α = 1 / tan α

1 + cot² α = 1 / sin² α

Последняя формула следует из основного тригонометрического тождества sin² α + cos² α = 1.

Формулы приведения

• cot(−α) = −cot α;
• cot(90° − α) = tan α;
• cot(90° + α) = −tan α;
• cot(180° − α) = −cot α;
• cot(180° + α) = cot α;
• cot(360° − α) = −cot α.

Формулы суммы, разности и двойного угла

cot(α + β) = (cot α cot β − 1) / (cot α + cot β)

cot(α − β) = (cot α cot β + 1) / (cot β − cot α)

cot 2α = (cot² α − 1) / (2cot α)

Формулы применимы только при существовании всех выражений и ненулевых знаменателях.

График функции y = cot x

График называется котангенсоидой. Он имеет период π. Вертикальные асимптоты находятся в точках x = πk, где синус равен нулю. Нули расположены при x = π/2 + πk. На каждом промежутке между соседними асимптотами функция убывает от плюс бесконечности до минус бесконечности.

Как найти угол по известному котангенсу

Обратная функция называется арккотангенсом и обозначается arccot или arcctg. В распространённом школьном определении главное значение лежит между 0° и 180°. Общее решение учитывает период: α = arccot y + 180°k. В разных программных библиотеках диапазон главного значения может отличаться, поэтому его следует уточнять.

Где применяется котангенс

• решение прямоугольных треугольников;
• нахождение углов по отношению катетов;
• преобразование тригонометрических выражений;
• расчёт уклонов и обратного отношения подъёма к горизонтальному расстоянию;
• геодезические, навигационные и инженерные вычисления.

Частые ошибки

• Перепутан порядок деления. Котангенс равен косинусу, делённому на синус.
• Выполняется расчёт при sin α = 0. В этих точках котангенс не существует.
• Котангенс 90° ошибочно считают неопределённым. На самом деле он равен нулю.
• Перепутаны градусы и радианы. Проверяйте единицу измерения.
• Неверно определён знак. Котангенс положителен в I и III четвертях.
• Результат округляется слишком рано. Сохраняйте больше знаков в промежуточных действиях.

Как пользоваться калькулятором

1. Введите значение угла.
2. Выберите градусы или радианы.
3. Укажите точность результата.
4. Нажмите кнопку «Найти котангенс».
5. Изучите ответ, точное значение и пошаговое вычисление через косинус и синус.

Ответы на частые вопросы

Чему равен котангенс 0 градусов?

Он не существует, потому что sin 0° = 0.

Чему равен котангенс 45 градусов?

cot 45° = 1.

Чему равен котангенс 90 градусов?

cot 90° = 0.

Как связаны тангенс и котангенс?

При существовании обеих функций они взаимно обратны: cot α = 1/tan α.

Какой период у котангенса?

Период равен 180° или π радиан.

По теме: тренажёр тригонометрии.