Сегмент круга: свойства, формулы и онлайн-калькулятор площади
Сегмент круга — это часть площади круга, которая отсекается от него прямой линией (хордой). Иными словами, это область, зажатая между дугой окружности и хордой, соединяющей концы этой дуги.
Сегмент может быть малым (меньше половины круга) или большим (больше половины круга). Понимание параметров сегмента крайне важно в архитектуре (проектирование арочных проемов), машиностроении (расчет объема жидкости в горизонтальных цилиндрических резервуарах) и ландшафтном дизайне.
С помощью нашего интерактивного калькулятора вы сможете мгновенно вычислить площадь (S) сегмента круга по любым известным вам исходным данным!
4 метода вычисления площади сегмента круга
В зависимости от того, какие параметры известны вам из чертежа или условий задачи, выберите одну из следующих формул. Базовая логика расчета строится на вычитании площади треугольника из площади кругового сектора.
1. Площадь через радиус и угол (в градусах)
Самый распространенный метод. Используется, когда известен радиус круга (R) и центральный угол (α), опирающийся на дугу сегмента, заданный в градусах.
Формула: S = ½ × R² × [(π × α° / 180) - sin(α°)]
Где:
- S — площадь сегмента;
- R — радиус круга;
- α° — центральный угол в градусах.
2. Площадь через радиус и угол (в радианах)
Если центральный угол уже дан в радианах (или вы используете языки программирования для расчетов), формула становится заметно короче и красивее.
Формула: S = ½ × R² × (α - sin α)
Где:
- α — центральный угол в радианах.
3. Площадь через радиус и высоту сегмента
Высота сегмента (h) — это кратчайшее расстояние от середины хорды до высшей точки дуги. Если известен радиус и эта высота, расчет производится через функцию арккосинуса (arccos).
Формула: S = ½ × R² × [2arccos((R - h) / R) - sin(2arccos((R - h) / R))]
Где:
- h — высота сегмента (стрелка прогиба). Обратите внимание: высота сегмента не может быть больше диаметра круга (2R).
4. Площадь через хорду и высоту сегмента
Это самая ценная формула для реальной жизни (например, в строительстве), так как измерить рулеткой хорду (ширину проема) и высоту (h) намного проще, чем искать виртуальный центр круга.
Для начала вычисляется радиус невидимого круга: R = h/2 + C² / (8h)
Затем находится площадь:
Где:
- C — длина хорды (ширина отрезка).
Ключевые свойства сегмента круга
Для правильного решения геометрических задач стоит помнить несколько аксиом, касающихся сегмента:
- Меньше круга: Площадь сегмента всегда меньше площади целого круга, из которого он вырезан (до тех пор, пока центральный угол не достигнет 360°).
- Полукруг: Если центральный угол равен ровно 180° (или высота сегмента равна радиусу), то хорда проходит через центр круга (становится диаметром). В этом случае сегмент является ровно половиной круга.
- Пропорциональность: Чем больше угол сегмента, тем больше его площадь. Однако эта зависимость нелинейная из-за вычитания площади треугольника.
- Связь с сектором: Площадь малого сегмента всегда равна площади кругового сектора минус площадь равнобедренного треугольника, образованного радиусами и хордой.
Добавьте эту страницу в закладки! Наш инструмент автоматически выполнит за вас все сложные вычисления с синусами и арккосинусами, сэкономив массу времени.