Разложение функции в ряд Тейлора и Маклорена: калькулятор онлайн

В высшей математике и математическом анализе ряд Тейлора — это гениальный способ представить сложную, «неудобную» функцию (например, синус, косинус или экспоненту) в виде бесконечной суммы простых степенных функций (полинома).

Этот метод используется повсеместно: от вычисления сложных интегралов до программирования калькуляторов (ведь процессор компьютера умеет только складывать и умножать, и именно через ряды Тейлора он «понимает», чему равен $\sin(30^\circ)$).

Наш бесплатный онлайн-калькулятор поможет вам разложить любую функцию в ряд Тейлора (или Маклорена) до 6-й степени. Инструмент не только выдаст готовую формулу полинома, но и построит наглядный график, где вы увидите, как полином «обнимает» оригинальную функцию!

Определение: Формула ряда Тейлора

Пусть у нас есть функция $f(x)$, которая бесконечно дифференцируема в окрестности некоторой точки $a$. Тогда её можно разложить в ряд:

$$f(x) = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{f^{(k)}(a)}{k!} (x — a)^k$$

В развернутом виде эта формула выглядит так:

$$f(x) \approx f(a) + \frac{f'(a)}{1!}(x — a) + \frac{f»(a)}{2!}(x — a)^2 + \frac{f»'(a)}{3!}(x — a)^3 + \dots$$

Где $f^{(k)}(a)$ — это производная $k$-го порядка, вычисленная в точке $a$, а $k!$ — факториал числа.

Ряд Маклорена

Ряд Маклорена — это просто частный случай ряда Тейлора, когда точка разложения находится в нуле ($a = 0$). Эта точка используется чаще всего, так как вычисления в нуле получаются самыми короткими.

Формула Маклорена выглядит так:

$$f(x) \approx f(0) + \frac{f'(0)}{1!}x + \frac{f»(0)}{2!}x^2 + \frac{f»'(0)}{3!}x^3 + \dots$$

(Чтобы построить ряд Маклорена в нашем калькуляторе, просто оставьте в поле «Точка разложения (a)» значение 0).

Пример разложения $\sin(x)$

Давайте разложим классическую функцию $f(x) = \sin(x)$ в ряд Маклорена ($a = 0$) до 5-й степени.

1. Вычисляем значения функции и её производных в точке 0:
   • $f(x) = \sin(x) \rightarrow f(0) = \sin(0) = 0$
   • $f'(x) = \cos(x) \rightarrow f'(0) = \cos(0) = 1$
   • $f»(x) = -\sin(x) \rightarrow f»(0) = -\sin(0) = 0$
   • $f»'(x) = -\cos(x) \rightarrow f»'(0) = -\cos(0) = -1$
   • $f^{(4)}(x) = \sin(x) \rightarrow f^{(4)}(0) = \sin(0) = 0$
   • $f^{(5)}(x) = \cos(x) \rightarrow f^{(5)}(0) = \cos(0) = 1$
2. Подставляем эти значения в общую формулу:$$T_5(x) = 0 + \frac{1}{1!}x + \frac{0}{2!}x^2 + \frac{-1}{3!}x^3 + \frac{0}{4!}x^4 + \frac{1}{5!}x^5$$
3. Упрощаем выражение:$$T_5(x) = x — \frac{x^3}{6} + \frac{x^5}{120}$$

Именно такой полином выдаст наш калькулятор, если вы введете sin(x) и выберете $n=5$.

Почему это работает? (О графиках)

Главная идея ряда Тейлора — приближение. Мы берем точку $a$ и создаем такой полином, который в этой точке имеет точно такое же значение, такой же наклон (первая производная) и такую же кривизну (вторая производная), как и оригинальная функция.

Посмотрите на график в нашем калькуляторе после вычисления:

• Синяя линия — это настоящая функция.
• Красный пунктир — это полином Тейлора.

Вы заметите, что вблизи точки $a$ эти две линии практически сливаются в одну! Чем больше степень $n$ вы зададите, тем плотнее и дольше красный пунктир будет «прилипать» к синей линии. Но как только мы отойдем далеко от точки $a$, полином «оторвется» от функции и уйдет в бесконечность (так как это особенность всех степенных функций).

Используйте наш онлайн-калькулятор, чтобы визуализировать сложный математический анализ и проверять свои расчеты!

По теме: Найти точки локального экстремума функции, Найти максимум и минимум функции, Построение графика функции.