Сопряженная (Эрмитово сопряженная) матрица

В линейной алгебре и теории матриц существует несколько видов «сопряжения». Важно не путать сопряженную матрицу (в смысле Эрмитова сопряжения, о которой пойдет речь ниже) с присоединенной (адъюнктной) матрицей, состоящей из алгебраических дополнений.

Сопряженная матрица, часто называемая эрмитово сопряженной, является фундаментальным понятием при работе с комплексными числами в матричной форме. Она широко применяется в квантовой механике, квантовых вычислениях, теории сигналов и электротехнике. На этой странице мы разберем определение, алгоритм нахождения и ключевые свойства таких матриц.

Определение и алгоритм нахождения

Пусть дана матрица $A$ размера $m \times n$, элементы которой — комплексные числа $a_{ij}$ (где $i$ — номер строки, $j$ — номер столбца). В зарубежной литературе и квантовой физике она обычно обозначается $A^\dagger$ (A с крестом) или $A^H$, в отечественной литературе часто используется обозначение $A^*$.

Сопряженная матрица ($A^*$) — это матрица, полученная из исходной матрицы $A$ путем последовательного выполнения двух операций (порядок не важен):

1. Транспонирование: Строки и столбцы меняются местами. Элемент, стоявший в позиции $(i, j)$, переходит в позицию $(j, i)$.
2. Комплексное сопряжение: Каждый элемент полученной матрицы заменяется на комплексно сопряженный. Это значит, что у мнимой части числа меняется знак на противоположный (если $z = a + bi$, то комплексно сопряженное $\bar{z} = a — bi$).

Математически это можно записать так: $(A^*)_{ij} = \bar{a}_{ji}$ (элемент сопряженной матрицы в $i$-й строке и $j$-м столбце равен комплексно сопряженному элементу исходной матрицы, стоявшему в $j$-й строке и $i$-м столбце).

Важное замечание: Если исходная матрица состоит только из вещественных чисел, то сопряженная матрица совпадает с обычной транспонированной матрицей ($A^* = A^T$).

Примеры нахождения сопряженной матрицы

Рассмотрим несколько примеров для лучшего понимания алгоритма.

Пример 1: Сопряжение матрицы-столбца (вектора)

Рассмотрим матрицу $A$ размера $2 \times 1$ (вектор-столбец):

A = | 1 + 2i |
    |   3i   |

Шаг 1. Транспонируем (получаем вектор-строку):

A^T = | 1 + 2i   3i |

Шаг 2. Берем комплексное сопряжение каждого элемента:

A^* = | 1 - 2i  -3i |

В результате сопряжения вектор-столбец превратился в вектор-строку с сопряженными элементами.

Пример 2: Сопряжение прямоугольной комплексной матрицы

Дана матрица $B$ размера $2 \times 3$:

B = | 1 - i    5      2 + 3i |
    |   4      i      -6i    |

Найдем сопряженную матрицу $B^*$ (размер будет $3 \times 2$):

B^* = | 1 + i    4  |
      |   5     -i  |
      | 2 - 3i   6i |

Обратите внимание: вещественные числа (4 и 5) остались без изменений, так как их мнимая часть равна нулю.

Пример 3: Эрмитова (самосопряженная) матрица

Эрмитова матрица — это квадратная комплексная матрица, которая равна своей сопряженной ($A = A^*$). Это аналог симметричной матрицы для вещественного случая.

Пример эрмитовой матрицы:

H = |   3      2 + i |
    | 2 - i      5   |

Если мы найдем $H^*$, то получим ту же самую матрицу. У эрмитовых матриц элементы на главной диагонали всегда являются вещественными числами.

Основные свойства сопряженных матриц

Ниже приведены ключевые свойства эрмитова сопряжения, которые упрощают матричные вычисления:

• Свойство двойного сопряжения (инволюция): $(A^*)^* = A$. Повторное сопряжение возвращает исходную матрицу.
• Сопряжение суммы: $(A + B)^* = A^* + B^*$. Сопряжение суммы равно сумме сопряженных матриц.
• Сопряжение произведения: $(AB)^* = B^* A^*$. Обратите внимание на смену порядка множителей (аналогично свойству транспонирования произведения).
• Сопряжение скалярного произведения: $(\alpha A)^* = \bar{\alpha} A^*$, где $\alpha$ — комплексное число, а $\bar{\alpha}$ — его комплексно сопряженное.
• Определитель сопряженной матрицы: $\det(A^*) = \overline{\det(A)}$. Определитель сопряженной матрицы равен комплексно сопряженному определителю исходной матрицы.
• Собственные значения эрмитовой матрицы: Если матрица является эрмитовой ($A = A^*$), то все её собственные значения являются вещественными числами.
• Обратная и сопряженная: Если матрица $A$ обратима, то $(A^{-1})^* = (A^*)^{-1}$. Операции взятия обратной матрицы и сопряжения можно менять местами.

Заключение

Сопряженная (эрмитово сопряженная) матрица — это мощный инструмент линейной алгебры, обобщающий понятие транспонирования на случай комплексных матриц. Понимание правил её нахождения и свойств критически важно для специалистов в области физики, обработки сигналов и анализа данных. Если вам нужно быстро и без ошибок найти сопряженную матрицу онлайн, воспользуйтесь нашим калькулятором, который мгновенно выполнит все необходимые преобразования.