Тангенс угла: формулы, свойства, таблица значений и онлайн-калькулятор

Тангенс угла — одна из основных тригонометрических функций. Он применяется при решении треугольников, вычислении уклонов, углов наклона, высот и расстояний, в физике, инженерии, геодезии и компьютерной графике. Онлайн-калькулятор вычисляет тангенс в градусах или радианах, показывает точное значение стандартных углов и объясняет решение по шагам.

Что такое тангенс угла

В прямоугольном треугольнике тангенс острого угла равен отношению противолежащего катета к прилежащему:

tan α = противолежащий катет / прилежащий катет

Например, если противолежащий катет равен 3, а прилежащий — 4, то tan α = 3/4 = 0,75.

Связь тангенса с синусом и косинусом

Для любого угла, у которого косинус не равен нулю, выполняется:

tan α = sin α / cos α

На единичной окружности синус является вертикальной координатой точки, а косинус — горизонтальной. Их отношение определяет тангенс. Если cos α = 0, делить нельзя, поэтому тангенс не существует.

Когда тангенс не существует

Тангенс не определён при углах:

α = 90° + 180°k

или в радианах:

α = π/2 + πk

где k — любое целое число. Примеры: 90°, 270°, −90°, 450°. В этих точках косинус равен нулю.

Градусы и радианы

Для перевода между единицами используются формулы:

αрад = α° × π / 180

α° = αрад × 180 / π

Например, 45° = π/4, 60° = π/3, а π рад = 180°.

Таблица тангенсов стандартных углов

Как вычислить тангенс

1. Определите, в градусах или радианах задан угол.
2. При необходимости переведите единицы.
3. Используйте период 180°, чтобы привести большой или отрицательный угол.
4. Найдите синус и косинус угла.
5. Если косинус равен нулю, тангенс не существует.
6. В остальных случаях разделите синус на косинус.

Примеры вычисления

Тангенс 30 градусов

sin 30° = 1/2, а cos 30° = √3/2. Поэтому:

tan 30° = (1/2) / (√3/2) = 1/√3 = √3/3 ≈ 0,577350

Тангенс 45 градусов

У прямоугольного равнобедренного треугольника катеты равны, поэтому tan 45° = 1.

Тангенс 120 градусов

Угол находится во II четверти, где тангенс отрицателен. Опорный угол равен 60°, поэтому tan 120° = −tan 60° = −√3.

Тангенс отрицательного угла

Тангенс — нечётная функция: tan(−α) = −tan α. Следовательно, tan(−45°) = −1.

Тангенс угла больше 360 градусов

Период тангенса равен 180°, поэтому tan 405° = tan(405° − 360°) = tan 45° = 1. Можно вычитать и сразу 360°, и любое целое количество периодов по 180°.

Период тангенса

В отличие от синуса и косинуса, период которых равен 360°, тангенс повторяется через 180°:

tan(α + 180°k) = tan α

В радианах:

tan(α + πk) = tan α

Знаки тангенса по четвертям

Основные свойства тангенса

• Область определения: все действительные углы, кроме π/2 + πk.
• Область значений: все действительные числа.
• Период: π радиан или 180°.
• Нечётность: tan(−α) = −tan α.
• Нули: α = πk, или 180°k.
• Монотонность: на каждом промежутке между разрывами тангенс возрастает.

Формулы приведения

• tan(−α) = −tan α;
• tan(90° − α) = cot α;
• tan(90° + α) = −cot α;
• tan(180° − α) = −tan α;
• tan(180° + α) = tan α;
• tan(360° − α) = −tan α.

Формулы суммы, разности и двойного угла

tan(α + β) = (tan α + tan β) / (1 − tan α tan β)

tan(α − β) = (tan α − tan β) / (1 + tan α tan β)

tan 2α = 2tan α / (1 − tan² α)

Формулы применяются только тогда, когда все входящие выражения определены и знаменатели не равны нулю.

График функции y = tan x

График тангенса называется тангенсоидой. Он проходит через начало координат и повторяется через π радиан. В точках x = π/2 + πk расположены вертикальные асимптоты. Между соседними асимптотами функция непрерывно возрастает от минус бесконечности до плюс бесконечности.

Как найти угол по известному тангенсу

Обратная функция называется арктангенсом. Если tan α = y, то главное значение угла записывается как α = arctan y. Арктангенс принимает любое действительное число и возвращает угол от −90° до 90°, не включая границы. Общее решение учитывает период: α = arctan y + 180°k.

Практическое применение

• Уклон: тангенс угла наклона равен отношению подъёма к горизонтальному расстоянию.
• Высота объекта: h = d × tan α, где d — расстояние до объекта.
• Строительство: расчёт наклона крыш, лестниц, дорог и пандусов.
• Геодезия: определение недоступных высот и расстояний.
• Физика: разложение сил и анализ направлений.

Частые ошибки

• Перепутаны градусы и радианы. Всегда проверяйте выбранную единицу.
• Тангенс вычисляется при cos α = 0. В этих точках функция не существует.
• Перепутано отношение катетов. Тангенс — противолежащий катет, делённый на прилежащий.
• Неверный знак. Тангенс положителен в I и III четвертях.
• Использован период 360° вместо 180°. Это не даст неверного ответа, но усложнит приведение.
• Преждевременное округление. Сохраняйте дополнительные знаки до конца расчёта.

Как пользоваться калькулятором

1. Введите значение угла.
2. Выберите градусы или радианы.
3. Задайте точность результата.
4. Нажмите кнопку «Найти тангенс».
5. Изучите ответ, точное значение, положение угла и пошаговый расчёт через синус и косинус.

Ответы на частые вопросы

Может ли тангенс быть больше единицы?

Да. Область значений тангенса — все действительные числа. Например, tan 60° = √3 ≈ 1,732.

Чему равен тангенс 90 градусов?

Он не существует, потому что cos 90° = 0, а деление на ноль невозможно.

Чему равен тангенс 45 градусов?

tan 45° = 1.

Почему период тангенса равен 180 градусов?

При добавлении 180° синус и косинус одновременно меняют знак. Их отношение остаётся прежним.

В чём разница между tan и arctan?

Функция tan получает угол и возвращает число. Функция arctan получает число и возвращает главное значение угла.

По теме: тренажёр тригонометрии.