Равнобедренная (равнобокая) трапеция: свойства и вычисление площади

Равнобедренная (или равнобокая) трапеция — это особый, симметричный вид четырехугольника. Как и у обычной трапеции, две ее противоположные стороны параллельны друг другу (основания). Главное отличие заключается в том, что две другие непараллельные стороны (боковые) абсолютно равны по длине.

Именно эта симметрия наделяет равнобокую трапецию уникальными геометрическими свойствами и позволяет вычислять её площадь огромным количеством способов, используя углы, диагонали или вписанную окружность.

С помощью нашего онлайн-калькулятора вы можете быстро произвести расчет по одной из 8 математических формул, просто выбрав известные вам данные.

Основные свойства равнобедренной трапеции

Прежде чем переходить к расчетам, важно понимать геометрические аксиомы этой фигуры. В отличие от произвольной трапеции, равнобедренная имеет строгие закономерности:

1. Равенство боковых сторон: Левая и правая стороны (c и d) всегда равны по длине (c = d).
2. Равенство углов при основаниях: Углы, прилегающие к одному и тому же основанию, равны. Это значит, что два острых угла при нижнем основании равны между собой, и два тупых угла при верхнем основании также равны.
3. Сумма прилежащих углов: Сумма любого острого угла при нижнем основании и тупого угла при верхнем основании (по одной боковой стороне) всегда равна 180°.
4. Равенство диагоналей: У равнобедренной трапеции диагонали имеют одинаковую длину (d₁ = d₂) и образуют равные углы с основаниями фигуры.
5. Ось симметрии: Фигура имеет одну ось симметрии, которая проходит строго через середины обоих оснований, разделяя трапецию на две зеркальные половины.
6. Описанная окружность: Вокруг любой равнобедренной трапеции всегда можно описать окружность (для произвольной трапеции это невозможно).

8 формул площади равнобедренной трапеции

1. Площадь через основания и высоту

Классическая формула, применимая к любым видам трапеций. Площадь равна произведению полусуммы оснований на высоту.

Формула: S = (a + b) / 2 × h (где a и b — основания, h — высота)

2. Через 3 стороны (Формула Брахмагупты)

Если вам известны оба основания и длина боковой стороны, высоту можно не искать. Применяется модифицированная формула Брахмагупты.

Формула: S = √((p - a)(p - b)(p - c)²) (где a и b — основания, c — боковая сторона, а p — полупериметр, вычисляемый как p = (a + b + 2c) / 2)

3. Через верхнее основание, боковую сторону и острый угол

Формула: S = c × sin(α) × (a + c × cos(α)) (где a — верхнее основание, c — боковая сторона, α — острый угол при нижнем основании)

4. Через нижнее основание, боковую сторону и острый угол

Формула: S = c × sin(α) × (b - c × cos(α)) (где b — нижнее (большее) основание)

5. Через основания и острый угол

Внимание: в старых учебниках или некоторых статьях эта формула часто пишется с ошибкой (со знаменателем 2). Математически точный расчет выглядит так:

Формула: S = (b² - a²) / 4 × tg(α) (где b — большее основание, a — меньшее основание, α — острый угол)

6. Через диагонали и угол между ними

Так как у равнобедренной трапеции диагонали равны, формула площади любого четырехугольника через диагонали (½ × d₁ × d₂ × sin(α)) превращается в d в квадрате.

Формула: S = ½ × d² × sin(α) (где d — диагональ, α — угол пересечения диагоналей)

7. Через среднюю линию, боковую сторону и острый угол

Высоту трапеции можно выразить как c × sin(α), где c — боковая сторона. Если подставить это в базовую формулу через среднюю линию (S = m × h), получим изящное уравнение.

Формула: S = m × c × sin(α) (где m — средняя линия)

8. Через радиус вписанной окружности и угол при основании

Если в равнобедренную трапецию вписана окружность (сумма ее оснований равна сумме боковых сторон), площадь можно найти даже не зная длины самих сторон.

Формула: S = 4r² / sin(α) (где r — радиус вписанной окружности)

Используйте наш онлайн-инструмент в начале страницы, чтобы избавить себя от долгих вычислений тангенсов и синусов, и получайте точный результат в 1 клик!

По теме: Площадь трапеции с вписанной окружностью, Площадь трапеции, Площадь эллипса, Площадь кольца, Площадь правильного шестиугольника, Площадь правильного многоугольника.