Площадь равнобедренной трапеции с вписанной окружностью (Описанная трапеция)
В геометрии трапецию, внутри которой находится окружность, касающаяся всех четырех ее сторон, называют описанной трапецией.
Далеко не в каждый четырехугольник можно вписать круг. Для того чтобы это было возможно, фигура должна подчиняться строгому правилу (теореме Пито): суммы длин ее противоположных сторон должны быть равны. То есть, сумма оснований всегда равна сумме боковых сторон (a + b = c + d).
Если же наша трапеция при этом является еще и равнобедренной (боковые стороны равны), это открывает целый ряд уникальных математических «лайфхаков», благодаря которым площадь можно вычислить предельно просто — например, зная длины только двух оснований!
Воспользуйтесь нашим калькулятором, чтобы быстро произвести вычисления по 6 специализированным формулам.
Главные свойства равнобедренной описанной трапеции
Прежде чем приступать к расчету площади, запомните три главных «золотых правила» этой фигуры, из которых и выводятся все формулы:
- Сумма оснований равна сумме боковых сторон:
a + b = 2c. Из этого следует, что боковая сторона равна средней линии (c = (a + b) / 2 = m). - Высота — это диаметр: Высота такой трапеции (h) в точности равна диаметру вписанной окружности (2r).
- Высота — это среднее геометрическое: В равнобедренной описанной трапеции высота всегда равна квадратному корню из произведения ее оснований:
h = √(a × b).
6 формул расчета площади
1. Через высоту (диаметр вписанной окружности) и острый угол
Если известна высота и угол при основании, мы можем найти площадь через квадрат высоты. Учитывая, что высота равна диаметру (h = 2r), эта формула также позволяет считать площадь через радиус (4r² / sin α).
Формула: S = h² / sin(α) (где h — высота, α — острый угол при основании)
2. Через основания и угол при основании
Опираясь на свойство h = √(a × b), мы просто заменяем высоту в первой формуле на произведение оснований.
Формула: S = (a × b) / sin(α) (где a и b — верхнее и нижнее основания)
3. Через основания и радиус вписанной окружности
Площадь любого описанного многоугольника равна произведению его полупериметра на радиус. Так как полупериметр здесь равен сумме оснований (a + b), формула получается очень изящной.
Формула: S = r × (a + b) (где r — радиус вписанной окружности)
4. Только через два основания
Самое удивительное свойство этой фигуры: вам не нужно знать ни углов, ни высоты. Достаточно знать только длины верхнего и нижнего основания! Мы умножаем среднюю линию (a + b)/2 на высоту √(a × b).
Формула: S = √(a × b) × (a + b) / 2
5. Через основания и боковую сторону
Так как боковая сторона (c) у этой фигуры численно равна полусумме оснований (a + b)/2, мы можем сократить предыдущую формулу.
Формула: S = c × √(a × b) (где c — длина боковой стороны)
6. Через основания и среднюю линию
Средняя линия (m) также равна полусумме оснований. Следовательно, формула идентична предыдущей, только с использованием другого обозначения.
Формула: S = m × √(a × b) (где m — длина средней линии)
Обязательно сохраните страницу в закладки! С помощью калькулятора вы сможете мгновенно решать любые, даже самые сложные геометрические задачи из ЕГЭ на описанную трапецию.